Question

（理科）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数 M＞0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数 x均成立，则f（x）为β函数．现给出如下4个函数：（1）f（x）=0；f（x）=x²；f（x）=

2

（sinx+cosx）；f（x）=

x

x2+x+1

．其中是β函数的序号是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：对于（1）取M＞0的任意一值都符合定义，对于（2）不存在这样的M满足定义，对于（3）由于x=0时，|f（x）|≤M|x|不成立，不满足定义，对于（4），|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故对任意的M≥

4

3

满足定义，可得结论．

解答：解：由题意
对于（1）f（x）=0，显然对任意常数M＞0，均成立，故f（x）为β函数；
对于（2），|f（x）|≤M|x|，显然不成立，故其不是β函数；
对于（3），f(x)=

2

(sinx+cosx)，由于x=0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故不是β函数；
对于（4），f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故对任意的M≥

4

3

，都有|f（x）|≤M|x|，故是β函数；
故答案为：（1）（4）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，主要考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，属于中档题．