Question

15．给出下列命题：
（1）终边在y轴上的角的集合是$\{α|α=\frac{kπ}{2}，k∈{Z}\}$；
（2）把函数f（x）=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到的函数解析式可以表示成$f（x）=2sin2（x+\frac{π}{6}）$；
（3）函数f（x）=$\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}$|的值域是[-1，1]；
（4）已知函数f（x）=2cosx，若存在实数x₁，x₂，使得对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为2π．
其中正确的命题的序号为（2）．

Answer 1

分析 （1）终边在y轴上的角的集合是{α|$α=2kπ+\frac{π}{2}$或$α=2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z}={α|α=$\frac{2k+1}{2}π$}，即可判断出正误；
（2）把函数f（x）=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到的函数解析式可以表示成g（x）=$2sin2（x+\frac{π}{6}）$，即可判断出正误；
（3）由于函数f（x）=$\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}$|=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥0}\\{0，sinx＜0}\end{array}\right.$，即可得出值域是[0，1]，进而判断出正误；
（4）|x₁-x₂|的最小值为$\frac{1}{2}$T，即可判断出正误．

解答 解：（1）终边在y轴上的角的集合是{α|$α=2kπ+\frac{π}{2}$或$α=2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z}={α|α=kπ+$\frac{π}{2}$}={α|α=$\frac{2k+1}{2}π$}，因此不正确；
（2）把函数f（x）=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到的函数解析式可以表示成g（x）=$2sin2（x+\frac{π}{6}）$，即$f（x）=2sin2（x+\frac{π}{6}）$，正确；
（3）函数f（x）=$\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{2}|{sinx}$|=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≥0}\\{0，sinx＜0}\end{array}\right.$，其值域是[0，1]，因此不正确；
（4）函数f（x）=2cosx，若存在实数x₁，x₂，使得对任意的实数x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{1}{2}$T=π，因此不正确．
其中正确的命题的序号为（2）．
故答案为：（2）．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．