Question

7．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且经过点$（4，-\sqrt{10}）$．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求双曲线的顶点坐标，焦点坐标，渐近线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），由已知得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}}\\{\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{10}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，由此能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）由双曲线C的方程，能求出双曲线的顶点坐标，焦点坐标，渐近线方程．

解答 解：（Ⅰ）∵双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∵双曲线离心率为$\sqrt{2}$，且经过点$（4，-\sqrt{10}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}}\\{\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{10}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a²=b²=6，
∴双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
（Ⅱ）∵双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}-\frac{{y}^{2}}{6}=1$，
∴a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{6+6}$=2$\sqrt{3}$，
∴双曲线的顶点坐标为${A}_{1}（-\sqrt{6}，0），{A}_{2}（\sqrt{6}，0）$，
焦点坐标为${F}_{1}（-2\sqrt{3}，0），{F}_{2}（2\sqrt{3}，0）$，
渐近线方程为y=±x．

点评 本题考查双曲线方程、双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．