Question

16．已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）若对于任意的x∈（0，2），不等式f（x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；
（2）由题意可得a+1＜$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）恒成立，求出g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数和单调区间，可得最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-x的导数为f′（x）=e^x-1，
即有f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为e⁰-1=0，
切点为（0，1），则f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）对于任意的x∈（0，2），不等式f（x）＞ax恒成立，
即为a+1＜$\frac{{e}^{x}}{x}$在（0，2）恒成立，
由g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数为$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=1处取得最小值，且为e，
则a+1＜e，可得a＜e-1．
即有a的取值范围是（-∞，e-1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．