Question

19．已知函数f（x）=log₂（4-x²）的定义域为A，函数g（x）=x²-2ax+a，对任意的x₁∈A总存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由真数大于零求出函数f（x）的定义域A，在利用对数函数的性质求出f（x）的值域，将条件转化为：存在x₂∈[1，2]使得g（x₂）的最大值大于等于2即可，根据二次函数的性质进行分类讨论：根据对称轴与区间的关系，分别求出函数g（x）的最大值，列出不等式求出a的范围．

解答 解：由4-x²＞0得，-2＜x＜2，
则函数f（x）=log₂（4-x²）的定义域A=（-2，2），
当x₁∈A时，0＜4-x²≤4，所以log₂（4-x²）≤2，
则函数任意的x₁∈A使得f（x₁）≤2成立，
∵对任意的x₁∈A总存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
∴存在x₂∈[1，2]使得g（x₂）的最大值大于等于2即可，
函数g（x）=x²-2ax+a的对称轴是x=a，
①当a≥$\frac{3}{2}$时，函数g（x）在[1，2]上最大值是g（1）=1-a，
所以1-a≥2，解得a≤-1，则a无解，
②当a＜$\frac{3}{2}$时，函数g（x）在[1，2]上最大值是g（2）=4-3a，
所以4-3a≥2，解得a≤$\frac{2}{3}$，则a≤$\frac{2}{3}$，
综上可得，a的取值范围是（-∞，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题考查对数函数的性质，二次函数的性质，以及恒成立问题的转化，考查分类讨论思想、转化思想，正确进行转化是解题的关键，属于中档题．