Question

9．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大值是2$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 由题意和三视图知，需要从对应的长方体中确定三棱锥，根据三视图的数据和几何体的垂直关系，求出四面体四个面的面积，再确定出它们的最大值．

解答 解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为4、3、4，
由三视图可知该三棱锥为B-A₁D₁C₁，
由三视图可得，A₁D₁=CC₁=4、D₁C₁=3，
所以BA₁=A₁C₁=5，BC₁=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
则三角形BA₁C₁的面积S=$\frac{1}{2}$×BC₁×h=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
因为A₁D₁⊥平面ABA₁B₁，所以A₁D₁⊥A₁B，
则三角形BA₁D₁的面积S=$\frac{1}{2}$×BA₁×A₁D₁=$\frac{1}{2}$×4×5=10，
同理可得，三角形BD₁C₁的面积S=$\frac{1}{2}$×BC₁×D₁C₁=$\frac{1}{2}$×3×4$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，
又三角形A₁D₁C₁的面积S=$\frac{1}{2}$×D₁C₁×A₁D₁=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
所以最大的面为A₁BC₁，且面积为2$\sqrt{34}$，
故答案为：2$\sqrt{34}$．

点评 本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积以及体积的求法，考查计算能力