Question

18．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，在三角形内挖去半圆，圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于点N，则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为$\frac{5\sqrt{3}}{27}π$．

Answer 1

分析 几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积．

解答 解：几何体是图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体，
是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球，
所以圆锥的底面半径是：1，高为$\sqrt{3}$，
球的半径为r，tan30°=$\frac{OC}{BC}$=r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以圆锥的体积：$\frac{1}{3}$×1²π×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$π，
球的体积：$\frac{4}{3}$π×（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）³=$\frac{4\sqrt{3}}{27}$π，
阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为：$\frac{5\sqrt{3}}{27}π$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{27}π$

点评 本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键．