Question

1．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）若直线l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得AD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；
（2）可得直线l过点M（2，0），可得2a+b+1=0，代入距离公式由二次函数的最值可得．

解答 解：（1）∵AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为-3，
又∵点T（-1，1）在直线AD上，
∴AD边所在的直线的方程为y-1=-3（x+1），
化为一般式可得3x+y+2=0；
（2）∵直线l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面积，
∴直线l过点M（2，0），∴2a+b+1=0，
∴原点与（a，b）的距离为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}+（-2a-1）^{2}}$=$\sqrt{5{a}^{2}+4a+1}$，
由二次函数的知识可得当a=-$\frac{2}{5}$时，
原点与（a，b）距离取最小值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线的方程的求解方法，涉及直线的垂直关系和距离公式以及二次函数的最值，属中档题．