Question

16．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）若存在实数m，使得f（m）=2，求m的值；
（3）若f（x-2）＞2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）；（2）令x=y=$\frac{1}{3}$，即可得到m=2：
（3）由（2）的结论和函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，可得x的不等式组，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）令x=y=1则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；    
（2）∵f（$\frac{1}{3}$）=1，
∴f（$\frac{1}{9}$）=f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=2，
∴m=$\frac{1}{9}$；     
（3）∵f（x-2）＞2=f（$\frac{1}{9}$），
函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x-2＜\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，解得2＜x＜$\frac{19}{9}$．

点评 本题考查抽象函数的运用：求函数值和自变量的值，考查赋值法的运用，同时考查单调性的运用：解不等式，属于中档题．