Question

三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（Ⅰ）求证：平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求GB与平面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证平面GFE∥平面PCB，即证线面平行，易证EF∥平面PCB，GF∥平面PCB，又EF∩GF=F，根据面面平行的判定定理即可证得；
（Ⅱ）连接BF，找出GB与平面ABC所成角为∠GBF，在直角三角形GBF中求出此角即可；
（Ⅲ）设PB的中点为H，连接HC，AH，先证∠AHC为二面角A-PB-C的平面角，再在三角形AHC中求出此角．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、PA的中点，
EF∥BC，GF∥PC（1分）
且EF、GF?平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF=F，
所以平面GFE∥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）解：
连接BF，因为GF∥PC，PC⊥平面ABC，
所以GF⊥平面ABC，BF为斜线BG在平面ABC上的射影，则∠GBF为所求．（6分）
GF=

1

2

PC=

1

2

，
在直角三角形BCF中，可求得BF=

2

．
在直角三角形GBF中tan∠GBF=

GF

BF

=

2

4

．
即BG与平面ABC所成角的正切值是

2

4

．（8分）

（Ⅲ）解：设PB的中点为H，连接HC，AH，
因为△PBC为等腰直角三角形，
所以HC⊥PB．
又AC⊥BC，AC⊥PC，且BC∩PC=C，
所以AC⊥平面PCB．
由三垂线定理得AH⊥PB．
所以∠AHC为二面角A-PB-C的平面角．（11分）
因为AC=2，HC=

2

2

，
所以tan∠AHC=

AC

HC

=2

2

．
所以∠AHC=arctan2

2

．
即二面角A-PB-C的大小是arctan2

2

．（13分）

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．