Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=

π

2

，PA=2，AB=AC=4，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点．
（I）求证：EF⊥平面PAD；
（II）求点A到平面PEF的距离；
（III）求二面角E-PF-A的大小．

Answer 1

分析：（I）欲证EF⊥平面PAD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF与平面PAD内两相交直线垂直，而PA⊥EF，EF⊥AD，PA∩AD=A，满足定理的条件；
（II）设EF与AD相交于点G，连接PG，过A做AO⊥平面PEF，则O在PG上，所以线段AO的长为点A到平面PEF的距离，在三角形PAG中求出AO，即得到了点A到平面PEF的距离；
（III）过A做AH⊥PF，垂足为H，连接EH，根据二面角平面角的定义可知∠EHA为二面角E-PF-A的一个平面角，在直角三角形EHA中求出此角的正切值，最后用反三角函数表示即可．

解答：解：（I）∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥EF，
AD为PD在平面ABC内的射影．
又∵点E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC
在△ABC中，由于AB=AC，故AD⊥BC，
所以EF⊥AD，∴PA⊥EF，EF⊥AD
∴EF⊥平面PAD（4分）
（II）设EF与AD相交于点G，连接PG．
∵EF⊥平面PAD，∴面PEF⊥dmPAD，交线为PG，
过A做AO⊥平面PEF，则O在PG上，
所以线段AO的长为点A到平面PEF的距离
在Rt△PAG中，PA=2，AG=

2

，∴AO=

2 3

3

即点A到平面PEF的距离为

2 3

3

（8分）
（III）∵PA⊥平面ABC，∠BAC=

π

2

∴BA⊥平面PAC．
过A做AH⊥PF，垂足为H，连接EH．
则EH⊥PF
所以∠EHA为二面角E-PF-A的一个平面角．
在Rt△EAH中，EA=2，AH=

2

，∴tan∠EHA=

2

2

=

2

即二面角E-PF-A的正切值为

2

.∴二面角E-PF-A的大小arttan

2

．（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及点到平面的距离和二面角的度量，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力．