Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（Ⅰ）求证：DE‖平面PBC；
（Ⅱ）求证：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC
（II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；
（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A-PB-E的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE∥BC．
∵DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．…（4分）
（Ⅱ）连接PD，
∵PA=PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB．  …．（5分）
∵DE∥BC，BC⊥AB，
∴DE⊥AB…（6分）
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE…（8分）
∵PE?平面PDE，
∴AB⊥PE…（9分）
（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…（10分）
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，
则B（1，0，0），P（0，0，

3

），E（0，

3

2

，0），
∴

PB

=（1，0，-

3

），

PE

=（0，

3

2

，-

3

）．
设平面PBE的法向量

n1

=(x，y，z)，
∴

x- 3 z=0 3 2 y- 3 z=0

令z=

3

得

n1

=(3，2，

3

)…（11分）
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量为

n2

=(0，1，0)．…（12分）
设二面角的A-PB-E大小为θ，
由图知，cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

1

2

，
所以θ=60°，
即二面角的A-PB-E大小为60°…（14分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答（I）和（II）的关键，而（III）的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．