Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱
PB，PC上，且BC∥平面ADE
（I）求证：DE⊥平面PAC；
（Ⅱ）当二面角A-DE-P为直二面角时，求多面体ABCED与PAED的体积比．

Answer 1

分析：（I）欲证DE⊥平面PAC，观察本题的条件，BC⊥平面PAC易证，而BC∥平面ADE结合DE=平面PBC∩平面ADE，可证得BC∥ED，由此证法思路已明．
（Ⅱ）由（I），结合二面角A-DE-P为直二面角，可证得AE⊥面PBC，即得AE⊥PC，再由，∠BCA=90°，AP=AC可得出E是中点，由于求多面体ABCED与PAED的体积比可以转化为求面BCED与面PAED的比，问题得解．

解答：解：（Ⅰ）∵BC∥平面ADE，BC?平面PBC，
平面PBC∩平面ADE=DE
∴BC∥ED（2分）
∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC∴PA⊥BC．（3分）
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（5分）
∴DE⊥平面PAC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，（8分）
∴∠AEP=90°，即AE⊥PC，（9分）
∵AP=AC，∴E是PC的中点，ED是△PBC的中位线．（10分）
∴

VA-BCED

VA-PDE

=

SBCED

SPDE

=

3

1

（12分）

点评：本题考查利用线面垂直的条件证明线面垂直以及求棱锥的体积比，本题中两个问题的证明都转化为了另外问题的证明，体现了做题的灵活性．