Question

17．已知O是锐角△ABC的外心，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），则x+y的取值范围为（-∞，-1）．

Answer 1

分析 能够判断O在△ABC内部，从而有x，y＜0，可设外接圆半径为1，对$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$两边平方即可得出1=x²+y²+2xycosθ，根据cosθ＜1即可得出1＜（x+y）²，再根据x，y＜0，从而得到x+y的取值范围．

解答 解：∵O是锐角△ABC的外心；
∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，则x＜0，y＜0；
${\overrightarrow{OC}}^{2}={x}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2xy\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$$+{y}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$，设向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$夹角为θ，则：
1=x²+y²+2xycosθ＜x²+y²+2xy=（x+y）²；
∴x+y＜-1，或x+y＞1（舍去）；
∴x+y的范围为（-∞，-1）．
故答案为：（-∞，-1）．

点评 考查三角形外心的定义，向量数量积的计算公式，注意x，y＜0这个条件．