Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=-a作垂线，垂足分别为M₁、N₁。
（1）当时，求证：AM₁⊥AN₁；
（2）记△AMM₁、△AM₁N₁、△ANN₁的面积分别为S₁、S₂、S₃，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S²₂=λS₁S₂成立。若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由

Answer 1

解：依题意，可设直线MN的方程为，，则有 由消去x可得 从而有 ① 于是 ② 又由，，可得  ③
（1）如图，当时，点即为抛物线的焦点，l为其准线 此时，并由①可得 ∵ ∴ 即。
（2）存在，使得对任意的，都有成立，证明如下： 记直线l与x轴的交点为A1，则。 于是有 ∴ 将①、②、③代入上式化简可得 上式恒成立，即对任意成立。