Question

已知数列{a_n} 是公差为d（d≠0）的等差数列，S_n为其前n项和．
（1）若a₂，a₃，a₆依次成等比数列，求其公比q；
（2）若，求证：对任意的m，n∈N*，向量与向量共线；
（3）若a₁=1，，，问是否存在一个半径最小的圆，使得对任意的n∈N*，点Q_n都在这个圆内或圆周上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a₂，a₃，a₆依次成等比数列，结合数列{a_n} 是公差为d（d≠0）的等差数列求出公差，然后求出公比．
（2）通过S_n为其前n项和，求出推出，说明向量与向量共线；
（3）求出a_n，Sn．利用向量计算，推出，说明存在半径最小的圆，最小半径为，使得对任意的n∈N*，点Q_n都在这个圆内或圆周上．
解答：解：（1）因为a₂，a₃，a₆成等比数列，所以a₃²=a₂-a₆，（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+5d）．
d=-2a₁，q=．
（2）因为==，而
=[a₁+]-[a₁+]=，
所以==，所以向量与向量共线．
（3）因为a₁=1，d=，所以a_n=1+（n-1）=，Sn=．
==
=．
因为n≥1，所以0．∴，当n=1时取等号．
所以，即所以存在半径最小的圆，最小半径为，使得对任意的n∈N*，点Q_n都在这个圆内或圆周上．
点评：此题考查了等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式，以及等差数列的确定方法．要求学生熟练掌握等差及等比数列的通项公式，以及二次函数的最值的应用．