Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=3sin（2x-

π

3

）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
②若a≥b＞-1，则

a

1+a

≥

b

1+b

；
③存在唯一的实数x，使x³+x²+1=0；
④已知P为双曲线x²-

y2

9

=1上一点，F₁、F₂分别为双曲线的左右焦点，且|PF₂|=4，则|PF₁|=2或6．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①利用三角函数的性质即可判断出；
②利用不等式的性质即可判断出；
③利用函数零点的判定定理和函数的单调性即可判断出；
④利用双曲线的定义及其性质即可判断出．

解答： 解：①∵f(-

π

6

)=3sin(-

π

6

×2-

π

3

)=-

3 3

2

，因此函数f（x）=3sin（2x-

π

3

）的图象关于点（-

π

6

，0）不对称，因此不正确；
②若a≥b＞-1，则1+a＞0，1+b＞0，∴a（1+b）-b（1+a）=a-b≥0，∴

a

1+a

≥

b

1+b

，因此正确；
③令函数f（x）=x³+x²+1，f′(x)=3x(x+

2

3

)，令f^′（x）=0，解得x=0或-

2

3

．当x＞0或x＜-

2

3

时，f^′（x）＞0，函数
f（x）单调递增；当-

2

3

＜x＜0时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，
且f（0）=1＞0，∴函数在区间(-

2

3

，+∞)上无零点，而当x＜-

2

3

时，f（-2）=（-2）³+（-2）²+1=-3＜0，f（-1）=1＞0，由函数零点的判定定理及其单调性可知：函数f（x）在R上存在唯一零点x₀∈（-2，-1），因此正确．
④由x²-

y2

9

=1，可得c=

1+9

=

10

．
∴F₁(-

10

，0)，F₂(

10

，0)，
而|PF₂|=4，∴点P必在双曲线的右支上，
∴|PF₁|=|PF₂|+2a=4+2=6．
因此不正确．
综上可知：只有②③正确．
故答案为：②③．

点评：本题综合考查了三角函数的性质、不等式的性质、函数的单调性及其函数零点的判定定理、双曲线的定义等基础知识，属于基础题．