Question

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（1）求证：AD⊥BM；
（2）点E是线段DB上的一动点，当二面角A-EM-D大小为

π

3

时，试求

DE

DB

的值．

Answer 1

分析：（1）过点D作DO⊥AM于点O，利用面面垂直的性质，证明DO⊥平面ABCM，进而证明BM⊥平面ADM，即可得到结论；
（2）过点D做EM的垂线交EM于T，连接AT，则可知∠DTA就是所求的平面角，利用△DEM～△DMB，即可求

DE

DB

的值．

解答：（1）证明：过点D作DO⊥AM于点O，
因为AB=2，AD=1，M为DC的中点，所以AM=AD，所以O为AM中点．
因为平面ADM⊥平面ABCM，所以DO⊥平面ABCM，所以DO⊥BM，
又因为AM=BM=

2

，AB=2，所以△ABM为等腰直角三角形，
所以AM⊥BM，且AM∩DO=O，
所以BM⊥平面ADM，所以AD⊥BM；
（2）解：因为AD⊥BM，且AD⊥DM，所以AD⊥平面BMD，
过点D做EM的垂线交EM于T，连接AT，则可知∠DTA就是所求的平面角，所以∠DTA=

π

3

，
因为DT=

3

3

，所以sin∠DME=

3

3

．
又因为sin∠MBD=

3

3

，所以△DEM～△DMB，
解得DE=

3

3

，所以

DE

DB

=

1

3

．

点评：本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查面面角，考查学生的计算能力，属于中档题．