Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，DE=2AB=2，且F是CD的中点．
（1）求证：平面ABF⊥平面CDE；
（2）设AC=2m，当m为何值时？使得平面BCE与平面ACD所成的二面角的大小为45°．

Answer 1

分析：（1）要证明平面ABF⊥平面CDE可利用面面垂直的判定定理即找其中一个平面的一条垂线即可而根据题中的条件CD即为面ABF的一条垂线故可得证．
（2）可根据AB⊥平面ACD，DE∥AB可得△ACD是△BCE的射影三角形然后利用射影三角形与二面角的关系式cosθ=

S射

S

=

S△ACD

S△BCE

就可得到关于m的关系式即可求出m的值．

解答：解：（1）∵AB⊥面ACD
∴AB⊥CD
又∵△ACD是正三角形且F是CD的中点
∴AF⊥CD
∵AB∩AF=A
∴CD⊥面ABF
∵CD⊆面CDE
∴平面ABF⊥平面CDE
（2）∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥面ACD
∴△ACD是△BCE的射影三角形
∵平面BCE与平面ACD所成的二面角的大小为45°
∴cos45°=

S射

S

=

S△ACD

S△BCE

∵AC=2m，DE=2AB=2

∴如图连接CE，过B作BG∥AD
则由于AB⊥平面ACD，DE⊥面ACD则BC=

AC2+AB2

=

4m2+1

，CE=

CD2+DE2

=2

m2+1

，BE=

BG2+GE2

=

4m2+1

∴△BCE的高h=

BE2-( CE 2 )2

=

3

m
∴cos45°=

3 4 (2m)2

1 2 ×2 m2+1 × 3 m

∴2m²=m²+1
∴m=1即当m=1时平面BCE与平面ACD所成的二面角的大小为45°．

点评：本题主要考察面面垂直的证明和二面角的应用，属较难题型．解题的关键是面面垂直的证明常选用面面垂直的判定定理来证明而对于第二问来说再利用射影三角形与二面角的关系式cosθ=

S射

S

=

S△ACD

S△BCE

之前得出△ACD是△BCE的射影三角形就显得尤为重要了!