练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•潍坊一模）设函数f(x)=
    1
    3
    mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx    ，其中a≠0．
    （ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
    （Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
    （Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=
    f(x)，x≤1
    g(x)，x＞1
    ，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
    分析：（ I ）点P与a的取值无关，令lnx=0即可求点P，代入y=f（x），可得m值；
    （Ⅱ）m=8时，求出F（x），F′（x），在定义域内按m≥0，m＜0两种情况讨论解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0即可；
    （Ⅲ）由（I）知G（x）=
    -x3+x2，x≤1
    alnx，x＞1
    ，先假设曲线y=G（x）上存在满足题意的两点P、Q，易知P、Q两点在y轴两侧，由此可设P（t，G（t））（t＞0）、Q（-t，t3+t2），由题意知∠POQ为直角，从而有
    OP
    •
    OQ
    =0    ，即-t2+G（t）（t3+t2）=0①．分（1）0＜t≤1时，（2）t＞1时两种情况进行讨论，此时可知G（t）表达式，（1）种情况易判断，（2）种情况分离出参数a后构造函数，转化为求函数值域可以解决；
    解答：解：（I）令lnx=0，则x=1，即函数y=g（x）的图象过定点P（1，0），
    又点P在y=f（x）的图象上，所以f（1）=
    1
    3
    m+（4+m）=0，
    解得m=-3．
    （II）F（x）=mx2+2（4+m）x+8lnx，定义域为（0，+∞），
    F′（x）=2mx+（8+2m）+
    8
    x
    =
    2mx2+(8+2m)x+8
    x
    =
    (2mx+8)(x+1)
    x
    ．
    ∵x＞0，则x+1＞0，
    ∴当m≥0时，2mx+8＞0，F′（x）＞0，此时F（x）在（0，+∞）上单调递增，
    当m＜0时，由F′（x）＞0得0＜x＜-
    4
    m
    ，F′（x）＜0，得x＞-
    4
    m
    ，
    此时F（x）在（0，-
    4
    m
    ）上为增函数，在（-
    4
    m
    ，+∞）上为减函数，
    综上，当m≥0时，F（x）在（0，+∞）上为增函数，
    m＜0时，在（0，-
    4
    m
    ）上为增函数，在（-
    4
    m
    ，+∞）上为减函数．
    （III）由条件（I）知G（x）=
    -x3+x2，x≤1
    alnx，x＞1
    ，
    假设曲线y=G（x）上存在两点P、Q满足题意，则P、Q两点只能在y轴两侧，
    设P（t，G（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），
    ∵∠POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
    ∴
    OP
    •
    OQ
    =0    ，∴-t2+G（t）（t3+t2）=0①．
    （1）当0＜t≤1时，G（t）=-t3+t2，
    此时方程①为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，
    此方程无解，满足条件的P、Q两点不存在．
    （2）当t＞1时，G（t）=alnt，
    方程①为：-t2+alnt•（t3+t2）=0，即
    1
    a
    =（t+1）lnt，
    设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则h′（t）=lnt+
    1
    t
    +1，
    当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，
    ∴h（t）的值域为（h（1），+∞）），即（0，+∞），
    ∴
    1
    a
    ＞0，∴a＞0．
    综上所述，如果存在满足条件的P、Q，则a的取值范围是a＞0．
    点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查对数函数的特殊点，考查学生对存在性问题的探究解决能力，解决（Ⅲ）问的关键通过分析条件合理设点P、Q的坐标．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•潍坊一模）设集合A={x|2x≤4}，集合B为函数y=lg（x-1）的定义域，则A∩B=（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•潍坊一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则
    AE
    •
    BD
    =（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•潍坊一模）某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•潍坊一模）已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a1，a2，a4，a7，…构成等差数列{bn}，Sn是{bn}的前n项和，且b1=a1=1，S5=15．
    （ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a9=16，求a50的值；
    （Ⅱ）设Tn=
    1
    Sn+1
    +
    1
    Sn+2
    +…+
    1
    S2n
    ，当m∈[-1，1]时，对任意n∈N*，不等式t3-2mt-
    8
    3
    ＞Tn    恒成立，求t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•潍坊一模）复数z=
    3+i
    1-i
    的共轭复数
    .
    z
    =（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案