Question

如图，已知M(-3m，0)，(m＞0)，N、P两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足=0，=

(Ⅰ)求动点Q的轨迹方程；

(Ⅱ)若正方体ABCD的三个顶点A、B、C在点Q的轨迹上，求正方形ABCD面积的最小值.

Answer 1

解：(Ⅰ)设Q(x，y)，因为=，所以N(0，)，

又M(-3m，0)，所以=(3m，)，=(x，)，

由已知·=0，则3mx-y²=0，y²=4mx．

即Q点轨迹方程为y²=4mx．

(Ⅱ)如图，不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中A、B在x轴的下方(包括x轴)，记A、B、C的坐标分别为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，(x₃，y₃)，其中y₃＞0≥y₂＞y₁

并设直线AB的斜率为k(k＜0)

则有①

又因为A、B、C在抛物线y²=4mx上，故有

x₁=,x₂=,x₃=代入①式得

y₁=-y₂,y₃=-4mk-y₂②

∵|AB|=|BC|

即

∴(y₂- y₁)=(y₃-y₂)

∴(y₂-y₁)=-k(y₃-y₂)将②代入可得：

y₂-+y₂=-k(-4mk-2y₂)

即-4mk²-=-2(-k+1)y₂，得y₂=

正方形的边长为

|AB|=(y₃-y₂)=(-4mk-2y₂)

=(-4mk-)

=4m[-k-]

=4m

易知≥2，≥

所以4m≥4m

所以正方形ABCD面积的最小值为32m²．