Question

（2006•石景山区一模）已知数列{a_n}是由正整数组成的数列，a₁=4，且满足lga_n=lga_n-1+lgb，其中b＞3，n≥2，且n∈N^*，则a_n=

4b^n-1

，

lim

n→∞

3n-1-an

3n-1+an

=

-1

．

Answer 1

分析：由lga_n=lga_n-1+lgb得a_n=ba_n-1（n≥2），可判断{a_n}是公比为b的等比数列，可求得a_n，而

lim

n→∞

3n-1-an

3n-1+an

=

lim

n→∞

3n-1-4bn-1

3n-1+4bn-1

=

lim

n→∞

( 3 b )n-1-4

( 3 b )n-1+4

，可得答案．

解答：解：lga_n=lga_n-1+lgb，即lga_n=lgba_n-1，
则a_n=ba_n-1（n≥2），
{a_n}是由正整数组成的数列，
所以{a_n}是公比为b的等比数列，又a₁=4，
所以an=4bn-1，
由于b＞3，所以0＜

3

b

＜1，
所以

lim

n→∞

3n-1-an

3n-1+an

=

lim

n→∞

3n-1-4bn-1

3n-1+4bn-1

=

lim

n→∞

( 3 b )n-1-4

( 3 b )n-1+4

=-1，
故答案为：4b^n-1；-1．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项及数列极限的求法，属中档题．