Question

已知△ABC中，a+b=

3

c，cos2C=1-3sinAsinB．
（1）求∠C；
（2）求证：△ABC为非等腰三角形．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,二倍角的余弦,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用二倍角的余弦公式，结合正弦定理，再由余弦定理，即可求得cosC，进而得到角C；
（2）由三角形的内角和定理，求得B，再由正弦定理，结合两角和的正弦公式，化简整理，即可求得A，进而说明三角形不为等腰三角形．

解答： （1）解：cos2C=1-3sinAsinB，
即有1-2sin²C=1-3sinAsinB，
即为2sin²C=3sinAsinB，
由正弦定理，可得，2c²=3ab，
又a+b=

3

c，
由余弦定理，可得，
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3c2- 4 3 c2-c2

4 3 c2

=

1

2

，
由于0＜C＜π，即有C=

π

3

；
（2）证明：由C=

π

3

，则A+B=

2π

3

，
即有B=

2π

3

-A，
又a+b=

3

c，则sinA+sinB=

3

sinC=

3

2

，
即有sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

，
即为

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3

2

，
即有sin（A+

π

6

）=

3

2

，
由于0＜A＜

2π

3

，则A+

π

6

=

π

3

或

2π

3

．
则有A=

π

6

或

π

2

．
则有A=

π

6

，B=

π

2

，C=

π

3

或A=

π

2

，B=

π

6

，C=

π

3

．
故△ABC为非等腰三角形．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．