Question

设圆C与两圆（x+

5

）²+y²=4，（x-

5

）²+y²=4中的一个内切，另一个外切．
（1）求C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点M（

3 5

5

，

4 5

5

），F（

5

，0），且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据两圆的方程分别找出两圆心和两半径，根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减，外切时，两圆心之间的距离等于两半径相加，可知圆心C到圆心F₁的距离加2与圆心C到圆心F₂的距离减2或圆心C到圆心F₁的距离减2与圆心C到圆心F₂的距离加2，得到圆心C到两圆心的距离之差为常数4，且小于两圆心的距离2

5

，可知圆心C的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上的双曲线，根据a与c的值求出b的值，写出轨迹L的方程即可；
（2）根据点M和F的坐标写出直线l的方程，与双曲线L的解析式联立，消去y后得到关于x的方程，求出方程的解即可得到两交点的横坐标，把横坐标代入直线l的方程中即可求出交点的纵坐标，得到直线l与双曲线L的交点坐标，然后经过判断发现T₁在线段MF外，T₂在线段MF内，根据图形可知||MT₁|-|FT₁||=|MF|，利用两点间的距离公式求出|MF|的长度，当动点P与点T₂重合时||MT₂|-|FT₂||＜|MF|，当动点P不是直线l与双曲线的交点时，根据两边之差小于第三边得到|MP|-|FP|＜|MF|，综上，得到动点P与T₁重合时，||MP|-|FP||取得最大值，此时P的坐标即为T₁的坐标．

解答：解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F₁（-

5

，0）、F₂（

5

，0），
由题意得：|CF₁|+2=|CF₂|-2或|CF₂|+2=|CF₁|-2，
∴||CF₂|-|CF₁||=4=2a＜|F₁F₂|=2

5

=2c，
可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2

5

的双曲线，
因此a=2，c=

5

，则b²=c²-a²=1，
所以轨迹L的方程为

x2

4

-y²=1；

（2）过点M，F的直线l的方程为y=

4 5 5 -0

3 5 5 - 5

（x-

5

），
即y=-2（x-

5

），代入

x2

4

-y²=1，解得：x₁=

6 5

5

，x₂=

14 5

15

，
故直线l与双曲线L的交点为T₁（

6 5

5

，-

2 5

5

），T₂（

14 5

15

，

2 5

15

），
因此T₁在线段MF外，T₂在线段MF内，故||MT₁|-|FT₁||=|MF|=

( 3 5 5 - 5 ) 2+( 4 5 5 )2

=2，
||MT₂|-|FT₂||＜|MF|=2，若点P不在MF上，则|MP|-|FP|＜|MF|=2，
综上所述，|MP|-|FP|只在点T₁处取得最大值2，此时点P的坐标为（

6 5

5

，-

2 5

5

）．

点评：此题考查学生会根据已知条件得到动点的轨迹方程，掌握双曲线的简单性质，灵活运用两点间的距离公式及三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解决实际问题，是一道中档题．