Question

已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB
（1）求角C；
（2）试求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；
（2）根据正弦定理算出c=

2

R，再由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的范围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）∵2R（sin²A-sin²C）=（

2

a-b）sinB，
∴根据正弦定理，得a²-c²=（

2

a-b）b=

2

ab-b²，
可得a²+b²-c²=

2

ab
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2 ab

2ab

=

2

2

，
∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为

π

4

（2）由（1）得c=2Rsin

π

4

=

2

R
由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC，可得
2R²=a²+b²-

2

a•b≥2ab-

2

ab=（2-

2

）ab，当且仅当a=b时等号成立
∴ab≤

2R2

2- 2

=（2+

2

）R²
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

1

2

•（2+

2

）R²•

2

2

=

1+ 2

2

R²
即△ABC面积的最大值为

1+ 2

2

R²

点评：本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．