Question

如图，在棱长AB=AD=2，AA₁=3的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是平面BCC₁B₁内动点，点F是CD的中点．
（Ⅰ）试确定E的位置，使D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）求平面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设E（2，y，z）利用空间向量方法
将D₁E⊥平面AB₁F转化为，进行代数运算，解出y，z．确定出E位置．
（Ⅱ）方法一：当D₁E⊥平面AB₁F时，平面AB₁F的法向量为，又是平面A₁AB₁的法向量，利用两法向量夹角求出平面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小．
法二：取AB的中点G，可证：FG⊥平面ABB₁A₁，过点G作GH⊥AB₁于H点，连接FH，则FH⊥AB₁，所以∠GHF为所求二面角的平面角，在△GHF中求解即可．
解答：解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），F（1，2，0），B₁（2，0，3），D₁（0，2，3），
设E（2，y，z），则，．（4分）
由D₁E⊥平面AB₁F∴
∴E（2，1，） 为所求．  …（6分）
（Ⅱ）方法一：当D₁E⊥平面AB₁F时，=，
又是平面A₁AB₁的法向量，
且．（8分）．
∴面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小．（12分）
方法二：取AB的中点G，可证：FG⊥平面ABB₁A₁，
过点G作GH⊥AB₁于H点，连接FH，则FH⊥AB₁，
所以∠GHF为所求二面角的平面角．…（9分）
在△GHF中，FG=2，FH．
∴面AB₁F与平面ABB₁A₁所成的锐二面角的大小．（12分）
点评：本题考查空间直线和平面垂直的判定．考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低空间想象难度，思，将几何元素位置关系转化为代数运算表示．是人们研究解决几何体问题又一有力工具．