Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁D中点，N为AC中点．
（1）求异面直线MN和AB所成的角；
（2）求点M到平面BB₁D₁D之距．

Answer 1

分析：（1）可以先求出MN和CD所成的角为45°，然后由CD∥AB即可求出MN和AB所成的角；
（2）先求出A1和平面BB₁D₁D的距离，M点到平面BB₁D₁D的距离为 A1和平面BB₁D₁D的距离的二分之一

解答：解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁D中点，
连接AD₁，则M为A₁D和AD₁的交点
在△AD₁C中，M、N分别为AD₁和AC之中点，
∴MN∥D₁C，而D₁C和DC所成角为45°，又DC∥AB
∴MN和AB所在异面角为45°．
（2）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BDD₁B₁为体对角面
∴A₁到面BD₁之距即A₁到B₁D₁之距

2

2

a．
又M为A₁D之中点，从而M到BD₁之距

2

4

a．

点评：此题考查异面直线所成的角的求法和点到平面距离的求法，解题时要注意数形结合的数学思想的运用，有一定的技巧，属于中档题．