Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线G：y=

1

2

x²-

1

2

ax-a²（x∈R），若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三点的圆C的一般方程．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：计算题,直线与圆

分析：求出曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，可得AB的垂直平分线、BD的垂直平分线，进而求出圆心、半径，即可求经过这三点的圆C的一般方程．

解答： 解：令x=0，则y=-a²
令y=0，则x=2a，x=-a）
∴曲线G的图象与两坐标轴有三个交点：A（2a，0），B（-a，0），D（0，-a²）
AB的垂直平分线：x=

1

2

a
BD的垂直平分线：y+

a2

2

=-

2

a

（x-a）
联立方程组得，x=

1

2

a，y=1-

a2

2

．
所以经过这三点的圆C的圆心C的坐标（

1

2

a，1-

a2

2

）
|CA|²=

a4+5a2+4

4

，
∴圆C的半径的平方为

a4+5a2+4

4

，
∴经过这三点的圆C的标准方程（x-

1

2

a）²+（y-1+

a2

2

）²=

a4+5a2+4

4

，
一般方程为x²+y²-ax+（a²-1）y=2a²．

点评：本题考查圆的一般方程，考查学生的计算能力，比较基础．