Question

设常数a＞0，(ax2+

1

x

)4的二项展开式中x³的系数为

3

2

，则1+a+a²+a³+…+aⁿ+…=

2

．

Answer 1

分析：利用二项展开式通项公式T_r+1=c₄^r（ax²）^4-r（-

1

x

）^r，整理后，令x的次数等于3得到参数的方程，从而解得a，再结合等比数列的求和公式以及数列的极限即可得到结论．

解答：解：由二项展开式通项公式T_r+1=c₄^r（ax²）^4-r（-

1

x

）^r，
整理得T_r+1=（-1）^rc₄^ra^4-rx 8-

5r

2

，
令8-

5r

2

=3⇒r=2时，有（-1）²c₄²a²=

3

2

，
∴a=±

1

2

；
∵a＞0
∴a=

1

2

．
∴

lim

n→∞

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查二项式展开式特定项的系数的求法以及等比数列求和公式及极限的运算，需要熟记展开式的通项公式，即T_r+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常见题型．