Question

3．若一个高为4，底面边长为2的正四棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． $\frac{81}{4}$π
• B． 16π
• C． 9π
• D． $\frac{27}{4}$π

Answer 1

分析 正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO₁上，记为O，如图．求出AO₁，OO₁，解出球的半径，求出球的表面积．

解答 解：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
记为O，PO=AO=R，PO₁=4，OO₁=4-R，
在Rt△AO₁O中，AO₁=$\sqrt{2}$，由勾股定理R²=2+（4-R）²得R=$\frac{9}{4}$，
∴球的表面积S=$\frac{81}{4}$π
故选：A．

点评 本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．