Question

已知方程x³+ax²+bx+c=0的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则a²+b²的取值范围是（　　）

• A．(

  5

  ，+∞)
• B．[

  5

  ，+∞)
• C．[5，+∞）
• D．（5，+∞）

Answer 1

分析：利用抛物线的离心率为1，求出c=-1-a-b，分解函数的表达式为一个一次因式与一个二次因式的乘积，通过函数的零点即可推出a，b的关系利用线性规划求解a²+b²的取值范围即可．

解答：解：设f（x）=x³+ax²+bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f（1）=1+a+b+c=0，故c=-1-a-b，
所以f（x）=（x-1）[x²+（1+a）x+a+b+1]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，
故g（x）=x²+（1+a）x+a+b+1，有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，
故有g（0）＞0，g（1）＜0，即a+b+1＞0且2a+b+3＜0，
利用线性规划的知识，可确定a²+b²的取值范围是（5，+∞）．
故选D．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，简单线性规划，考查计算能力．