Question

已知数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{b_n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），b₁=f（q-2），b₃=f（q）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，都有

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn

nbn

=an+1成立，求S_n．

Answer 1

分析：（1）首先利用f（x）的解析式表示出a₁，a₅，b₁，b₃，然后利用等差数列和等比数列的通项公式，建立方程，求解即可．
（2）首先根据题设中的递推公式可得c₁=3，n≥2时，a_n+1-a_n=

cn

nbn

=2，故可求出c_n，然后，利用错位相减法求出s_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），
∴（d-1）²+4d=（2d-1）²，
∴d=2，a₁=1．
∴a_n=2n-1；
∵数列{b_n}是公比为q的（q∈R）的等比数列，f（x）=x²，且b₁=f（q-2），b₃=f（q），
则b₂=q
∴q²=q²（q-2）²，
解得q=3，或q=1，又b₁=1．
∴b_n=3^n-1；或b_n=1
（2）∵对一切n∈N^*，都有

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn

nbn

=an+1成立，
∴当n=1时，

c1

b1

=a2，
∵a₁=3，b₁=1，
∴c₁=3，S₁=3；
当n≥2时，∵

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn

nbn

=an+1，
∴

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn-1

(n-1)bn-1

=a_n，
∴

cn

nbn

=an+1-an=2，
∴c_n=2n•3^n-1，
故c_n=

3，n=1 2n•3n-1，n≥2

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=3+2•2•3+2•3•3²+2•n•3^n-1
=2（1•3⁰+2•3¹+3•3²+n•3^n-1）+1
设x=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，①
则3•x=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，②
②-①得2x=n•3ⁿ-（3^n-1+3^n-2+…+3⁰）=n•3n-

3n-1

2

，
∵sn=2x+1，
∴Sn=(n-

1

2

)•3n+

3

2

，
又S₁=3满足上式，
综上，Sn=(n-

1

2

)•3n+

3

2

，n∈N*．

点评：本题考查了数列知识和函数的综合运用，以及灵活运用数学方法的能力，难度较大．