Question

(1) 已知函数f(x)的周期为4，且等式f(2＋x)＝f(2－x)对一切x∈R均成立，求证：f(x)是偶函数 (2) 设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈［4，6］时，f(x)＝2x＋1，求f(x)在区间［－2，0］上的表达式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：令2＋x＝t，则2－x＝4－t，f(t)＝f(4－t)　　① 　　又　∵f(x)的周期为4，∴f(4－t)＝f(－t)　　②由①、②知f(t)＝f(－t)，∴f(x)为偶函数．
(2)	解析：由题设知f(x)是以4为周期的周期函数，x∈［0，2］，则x＋4∈［4，6］，∴f(x)＝f(x＋4)＝2x+4＋1，即得f(x)＝2x+4＋1(0≤x≤2)． 　　当x∈［－2，0］时，即得－x∈［0，2］，∵f(x)为奇函数， 　　∴f(x)＝－f(－x)＝－(2x+4＋1)， 　　∴f(x)＝－(2x+4＋1)(－2≤x≤0)． 　　点评：正确掌握函数的奇偶性和周期性的定义是本题的解题关键，解题时应注意两者之间的联系．