Question

1已知函数f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，g(x)=2

b(1+x2)

，a，b∈R，且g（0）=2，f(

3

)=2-

3

（Ⅰ）求f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）h（x）为定义在R上的奇函数，且满足下列性质：①h（x+2）=-h（x）对一切实数x恒成立；②当0≤x≤1时h(x)=

1

2

[-f(x)+log2g(x)]．
（ⅰ）求当-1≤x＜3时，函数h（x）的解析式；
（ⅱ）求方程h(x)=-

1

2

在区间[0，2012]上的解的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用待定系数法，由条件得出关于a，b的方程，解得，a=-1，b=1即可得出f（x）、g（x）的解析式；
（Ⅱ）（ⅰ）利用当0≤x≤1时函数的解析式，结合函数是偶函数得出当-1≤x≤0时的解析式，最后利用题中的性质即可得出函数h（x）的解析式；
（ⅱ）先利用题中条件：“h（x+2）=-h（x）”得到h（x）是以4为周期的周期函数．从而h(x)=-

1

2

的所有解是x=4n-1（n∈Z），进一步即可得出h(x)=-

1

2

在[0，2012]上解的个数．

解答：解：（Ⅰ）由f(

3

)=2-

3

，g(0)=2，得

3

a+2b=2-

3

，2

b

=2，
解得，a=-1，b=1．
∴f(x)=

1+x2

-x，g(x)=2

1+x2

．
（Ⅱ）（ⅰ）当0≤x≤1时，h(x)=

1

2

x，
∴当-1≤x≤0时，h(x)=-h(-x)=

1

2

x，
∴h(x)=

1

2

x， (-1≤x≤1)．
当1＜x＜3时，-1＜x-2＜1，
∴h(x)=-h(x-2)=-

1

2

(x-2)．
故h(x)=

1 2 x，-1≤x≤1 - 1 2 (x-2)，1＜x＜3.

（ⅱ）当-1≤x＜3时，由h(x)=-

1

2

，得x=-1．
∵h（x+2）=-h（x），
∴h（x+4）=-h（x+2）=-[-h（x）]=h（x），
∴h（x）是以4为周期的周期函数．
故h(x)=-

1

2

的所有解是x=4n-1（n∈Z），
令0≤4n-1≤2012，则

1

4

≤n≤

2013

4

．
而n∈Z，∴1≤n≤503（n∈Z），
∴h(x)=-

1

2

在[0，2012]上共有503个解．

点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、根的存在性及根的个数判断等基本知识，考查函数的性质的方法，考查分析问题、解决问题的能力．