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已知F是抛物线y 2=2Px (p>0)的焦点,若点M(2,)恰好是直线MF被抛物线所截得弦的中点

(1)求p的值及直线MF的方程

(2)能否在抛物线上找一点C ?使. 若能,求出点C的坐标. 若不能,请说明理由.

(1)p=2,直线 MF 的方程为y=  (x-1)(2)不存在点C满足题意


解析:

(1)  (点差法)  设直线MF与抛物线交于A(x1 ,y1),  B(x2 , y2), 又F( ,0), 

则y12=2px1          y22=2px2     ‚                      …………2分

由‚-  得  (y2+y1) (y2-y1)=2p(x2-x1)

 即 kAB(y2+y1)=2p      ƒ 

 将kAB=kMF= ,  y1+y2=2  代人ƒ  解之有p=2

  所以 kMF= , 直线 MF 的方程为y=  (x-1)          …………7分

  (2)  假设存在点C, 由(1)知y2=4x

  设C(t2, 2t),  则 ,   ,

  由于

 可知                                        …………… 9分   

  即 (t2-2)(t2—1)+(2t-)(2t)=t4+t2-2t+2=t4+(t-)2=0

  则t=0且t= ,故不存在点C满足题意        …………12分

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