Question

已知，函数.设，记曲线在点处的切线为，与轴的交点是，为坐标原点.

（1）证明：；

（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求出f'（x），把代入到导函数中求出切线l的斜率，并代入到f（x）中求出，写出切线方程，然后令y=0求出与x轴的交点横坐标x即得证；（2）根据第一问写出M和N的坐标，算出与的数量积，当a等于0时不等式成立，当a大于0时设等于数量积，求出导函数等于0时，的值，然后利用讨论导函数的正负得到函数的单调区间，利用函数的增减性得到的最小值大于列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．

试题解析：（1）【解析】
曲线在点处的切线的方程为

令，得 4分

（2）在上恒成立

设，

令，解得，

当时，取极大值

10当,即时，，满足题设要求；

20当，即，，

若，解得.

综上，实数的取值范围为. 12分.

考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.函数与方程的综合运用；3.平面向量数量积的运算．