Question

对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对任意的x∉[a，b]都有f（x）＞C恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“U型”函数．
（1）求证函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）设函数f（x）是（1）中的“U型”函数，若不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切t∈R恒成立，求实数t的取值范围．
（3）若函数g（x）=mx+

x2+2x+n

是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，求实数m和n的值．

Answer 1

分析：1）对于函数f（x）=|x-1|+|x-3|，欲判断其是否是“U型”函数，只须f₁（x）≥2是否恒成立，利用去绝对值符号后即可证得；
（2）不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，等价于|t-1|+|t-2|≤f（x）_min，等价于|t-1|+|t-2|≤2，从而可求实数t的取值范围；
（3）函数g（x）=mx+

x2+2x+n

是区间[-2，+∞）上的“U型”函数，等价于x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²对任意的x∈[a，b]成立，利用恒等关系，可得到关于m，n，c的方程，解出它们的值，最后通过验证g（x）是区间[-2，+∞）上的“U型”函数即可解决问题．

解答：解：（1）当x∈[1，3]时，f（x）=x-1+3-x=2，
当x∉[1，3]时，f（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2，
故存在闭区间[a，b]=[1，3]⊆R和常数C=2符合条件，
所以函数f（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数；
（2）因为不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）_min，
由（1）可知f（x）_min=（|x-1|+|x-3|）_min=2，
所以|t-1|+|t-2|≤2，
解得：

1

2

≤t≤

5

2

；
（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+

x2+2x+n

=c，即

x2+2x+n

=c-mx，
所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²对任意的x∈[a，b]成立，
所以

m2=1 -2cm=2 c2=n

，所以

m=1 c=-1 n=1

或

m=-1 c=1 n=1

，
①当

m=1 c=-1 n=1

时，g（x）=x+|x+1|．
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“U型”函数；
②当

m=-1 c=1 n=1

时，g（x）=-x+|x+1|．
当x∈[-2，-1]时，g（x）=-2x-1≥1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=1．
此时，g（x）不是区间[-2，+∞）上的“U型”函数．
综上分析，m=1，n=1为所求；

点评：本题考查新定义，考查函数恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是利用恒成立结论等式，从而可得参数的值，属于难题．