Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函f（x）的一个上界．
已知函数f（x）=1+a(

1

2

)x+(

1

4

)x，g（x）=log

1

2

1-ax

x-1

．
（1）若函数g（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x），在区间[

5

3

，3]上的所有上界构成的集合；
（3）若函数g（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数a的值；
（2）求出函数g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在区间[

5

3

，3]上的值域为[-2，-1]，结合新定义，即可求得结论；
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，可得-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，换元，求出左边的最大值，右边的最小值，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数g（x）为奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

．，
即

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，得a=±1，而当a=1时不合题意，故a=-1．…（4分）
（2）由（1）得：g（x）=log

1

2

1+x

x-1

，
∵函数g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在区间（1，+∞）上单调递增，
∴函数g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在区间[

5

3

，3]上单调递增，
∴函数g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在区间[

5

3

，3]上的值域为[-2，-1]，
∴|g（x）≤2，
故函数g（x）在区间[

5

3

，3]上的所有上界构成集合为[2，+∞）．…（8分）
（3）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，
∴-4-(

1

4

)x≤a(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，
∴-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立．  …（10分）
设t=2^x，t≥1，h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，
则h′（t）=-4+

1

t2

＜0，p′（t）=2+

1

t2

＞0，
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，…（12分）
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1．
∴实数a的取值范围为[-5，1]．…（14分）

点评：本题考查了与函数性质有关的新定义问题，考查了换元法求函数的值域，综合性强，涉及知识面广，难度较大．