Question

2．已知四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{BC}$|=2，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，则|$\overrightarrow{BD}$|的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 如图所示，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得|$\overrightarrow{BD}$|的最大值为直径AC．

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，
∴AB⊥BC，AD⊥DC．
∴四边形ABCD内接于圆O．
可得⊙O的直径AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
则|$\overrightarrow{BD}$|的最大值为直径$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了圆的内接四边形、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．