Question

(1)判断函数f(x)=|sinx|+cosx的奇偶性;

(2)若函数f(x)=sin(x+φ)为偶函数，求φ的值.

Answer 1

解析:(1)函数f(x)=|sinx|+cosx的定义域是R,

∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|-sinx|+cosx=|sinx|+cosx=f(x),

∴f(x)是偶函数.

(2)∵f(x)=sin(x+φ)是偶函数,

∴f(-x)=f(x),即

sin(-x+φ)=sin(x+φ)(x∈R).

∴sin(x+φ)+sin(x-φ)=0(x∈R).

∴2sinxcosφ=0(x∈R).

∵当x∈R时，sinx不恒为零，

∴cosφ=0,φ=kπ+(k∈Z).

点评：判断函数奇偶性，首先判断其定义域是否在x轴上关于原点对称，然后判断f(-x)与±f(x)的关系.注意理解f(x)为偶函数的充要条件是f(-x)=f(x)对其定义域内一切x恒成立的含义.