Question

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)-x=0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0＜f′(x)＜1.”

(Ⅰ)判断函数f(x)=+是否是集合M中的元素，并说明理由；

(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意［m,n］D，都存在x₀∈［m,n］，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立，试用这一性质证明：方程f(x)-x=0只有一个实数根；

(Ⅲ)设x₁是方程f(x)-x=0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x₂，x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，|f(x₃)-f(x₂)|＜2.

Answer 1

解析：(1)因为f′(x)=+cosx,

    所以f′(x)∈［,］满足条件0＜f′(x)＜1,

    又因为当x=0时，f(0)=0，所以方程f(x)-x=0有实数根0.

    所以函数f(x)=+是集合M中的元素.

(2)假设方程f(x)-x=0存在两个实数根α,β(α≠β),

    则f(α)-α=0,f(β)-β=0,不妨设α＜β，根据题意存在数c∈(α,β),

    使得等式f(β)-f(α)=f(β-α)f′(c)成立，

    因为f(α)=α,f(β)=β，且α≠β，所以f′(c)=1,

    与已知0＜f′(x)＜1矛盾，所以方程f(x)-x=0只有一个实数根；

(3)不妨设x₂＜x₃，因为f′(x)＞0，所以f(x)为增函数，所以f(x₂)＜f(x₃),又因为f′(x)-1＜0,所以函数f(x)-x为减函数，

    所以f(x₂)-x₂＞f(x₃)-x₃,

    所以0＜f(x₃)-f(x₂)＜x₃-x₂,即|f(x₃)-f(x₂)|＜|x₃-x₂|,

    所以|f(x₃)-f(x₂)|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-(x₂-x₁)|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2.