Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f^′（x）满足
0＜f^′（x）＜1”
（I）证明：函数f（x）=

3x

4

+

x3

3

（0≤x＜

1

2

）是集合M中的元素；
（II）证明：函数f（x）=

3x

4

+

x3

3

（0≤x＜

1

2

）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，

1

2

），都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．
（III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f^′（x_o）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．

Answer 1

分析：（I）根据所给的条件得到f′（x）∈[

3

4

，1）满足条件0＜f′（x）＜1又因为当x=0时，飞（0）-0=0，所以方程飞（x）-x=0有实数根0．得到结论．
（II）要证等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（x_o）成立，先整理出f（n）-f（m），再做出和n-m的比值，根据等于的函数式整理出存在x_o∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（x_o）成立．
（III）先假设方程有两个实根，根据题意 存在c使得f（n）-f（m）=（n-m）f′（x_o）成立，得到矛盾，最后得到所给的方程只有一个实根．

解答：解：（I）证明：因为f′（x）=

3

4

+x²且0≤x＜

1

2

所以f′（x）=

3

4

+x²
∴f′（x）∈[

3

4

，1）满足条件0＜f′（x）＜1
又因为当x=0时，飞（0）-0=0，所以方程飞（x）-x=0有实数根0．
所以函数f（x）=

3x

4

+

x3

3

（0≤x＜

1

2

）是集合M中的元素
（II）证明：∵f（n）-f（m）=

3

4

(n-m)+

(n-m)(n2+nm+m2)

3

∴

f(n)-f(m)

n-m

=

3

4

+

(n2+nm+m2)

3

∵[m，n]⊆[0，

1

2

）∴

f(n)-(m)

n-m

=

(n2+nm+m2)

3

∈（

3

4

+m²，

3

4

+n²）．
又∵f′（x）=

3

4

+x²，
∴当0≤m＜x＜n＜

1

2

时，f′（x）∈（

3

4

+m²，

3

4

+n²）．
∴存在x₀∈（m，n）使得

f(n)-(m)

n-m

=f′（x₀）也就是f（n）-（m）=（n-m）f′（x₀）；
（III）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），则f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c∈（α，β）
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f′（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β且α≠β，所以f′（c）=1
与已知0＜f′（x）＜1矛盾，所以方程f（x）-x=0只有一个实数根．…（14分）

点评：本题考查函数恒成立问题，本题的题干比较长，解题的关键是读懂题目，题目的运算量不大，只要理解题意这只是一道中档题目，也可以作为一套试卷中的压轴题目出现．