Question

5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当X≥0时，f（x）=2x-1．
（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤5，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x＜0时，-x＞0，结合题意以及函数的奇偶性可得；
（2）f（x）≤5等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{2x+1≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2x-1≤5}\end{array}\right.$，分别解不等式组综合可得．

解答 解：（1）当x＜0时，-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=2x-1，
∴f（-x）=-2x-1，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴-f（x）=f（-x）=-2x-1，
∴当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=2x+1；
（2）由（1）可知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x＜0}\\{2x-1，x≥0}\end{array}\right.$，
∴f（x）≤5等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{2x+1≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2x-1≤5}\end{array}\right.$，
分别解不等式组可得x＜0或0≤x≤3，
∴x的取值范围为（-∞，3]

点评 本题考查函数解析式的求解方法，涉及函数的奇偶性和不等式组的解法，属基础题．