Question

已知函数f（x）=lg

1-x

1+x

，a，b∈（-1，1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（a）+（b）=f（

a+b

1+ab

）．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求解

1-x

1+x

＞0，-1＜x＜1得出定义域，
（2）运用定义判断f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
（3）f（a）+（b）=f（

a+b

1+ab

）．运用函数解析式左右都表示即可得证．

解答： 解：函数f（x）=lg

1-x

1+x

，a，b∈（-1，1）．
（1）∵

1-x

1+x

＞0，-1＜x＜1
∴函数f（x）的定义域：（-1，1）．
（2）定义域关于原点对称，
f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）证明：∵f（a）+f（b）=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=lg

1+ab-1-b

1+a+b+ab

，
f（

a+b

1+ab

）=lg

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

1-a-b+ab

1+a+b+ab

，
∴f（a）+（b）=f（

a+b

1+ab

）．

点评：本题考查了函数的定义，奇偶性的求解，恒等式的证明，属于中档题，关键是利用好函数解析式即可．