【题目】已知函数 (a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论函数f(x)的奇偶性;
(3)求a的取值范围,使f(x)+f(2x)>0在其定义域上恒成立.
【答案】
(1)解:定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)
(2)解: = = ,
∴f(x)是偶函数
(3)解:∵函数f(x)在定义域上是偶函数,
∴函数y=f(2x)在定义域上也是偶函数,
∴当x∈(0,+∞)时,f(x)+f(2x)>0可满足题意,
∵当x∈(0,+∞)时,x3>0,
∴只需 ,即 ,
∵a2x+ax+1>0,
∴(ax)2﹣1>0,解得a>1,
∴当a>1时,f(x)+f(2x)>0在定义域上恒成立
【解析】(1)利用ax﹣1≠0即可求得函数f(x)的定义域;(2)由 可推知f(﹣x)=f(x),从而可判断函数f(x)的奇偶性;(3)利用(1)知f(x)为偶函数,可知当x∈(0,+∞)时,x3>0,从而可判知,要使f(x)+f(2x)>0在其定义域上恒成立,只需当a>1时即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较,以及对函数的奇偶性的理解,了解偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
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【题目】设函数f(x)=x2﹣2|x|﹣1(﹣3≤x≤3),
(1)画出这个函数的图象;
(2)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;
(3)求函数的值域.
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【题目】荆州市某重点学校为了了解高一年级学生周末双休日在家活动情况,打算从高一年级1256名学生中抽取50名进行抽查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从1256人中剔除6人,剩下1250人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的机会( )
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等
D.无法确定
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.
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【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点,离心率 ,且其中一个焦点与抛物线 的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点S( ,0)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T,若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】【苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017届高三年级第三次调研考试】某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(为上切点),与左右两边相交(,为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1,且,设,透光区域的面积为.
(1)求关于的函数关系式,并求出定义域;
(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边的长度.
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