Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足为M．
（1）求证：AM⊥PD；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明AM⊥PD，只需证明PD⊥平面ABM，利用AB⊥PD，BM⊥PD可证；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面ACM的一个法向量

n

=(2，-1，1)，利用向量的夹角公式，即可求得线CD与平面ACM所成角的余弦值．

解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD
∴PA⊥AB
又AB⊥AD，AD∩PA=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD
∴AB⊥平面PAD
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD…（3分）
∵BM⊥PD，AB?平面ABM，AB∩BM=B
∴PD⊥平面ABM
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD…．（6分）
（2）解：如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz…（7分）
则 A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M（0，1，1）
∴

AC

=(1，2，0)，

AM

=(0，1，1)，

CD

=(-1，0，0)
设平面ACM的一个法向量为

n

=(x，y，z)
由

n

⊥

AC

，

n

⊥

AM

，可得

x+2y=0 y+z=0

，令z=1，得x=2，y=-1，∴

n

=(2，-1，1)…（10分）
设直线CD与平面ACM所成角为θ，
则sinθ=|cos(90°-θ)|=|

CD • n

| CD || n |

|=

6

3

∴cosθ=

3

3

，即直线CD与平面ACM所成角的余弦值为

3

3

…（13分）

点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查线面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，解题的关键是建立空间直角坐标系，正确运用向量的夹角公式，属于中档题．