Question

已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.

（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；

（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；

（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，

证明：

Answer 1

．解：（1），设切线的斜率为，则

       

∴曲线在点处的切线的方程为：

又∵点在曲线上, ∴

∴曲线在点处的切线的方程为：即

令得，∴曲线在轴上的交点的坐标为

（2）原点到直线的距离与线段的长度之比为：

    

当且仅当即时，取等号。此时，

故点的坐标为

（3）证法一：要证

只要证

只要证

，又

所以：

证法二：由上知，只需证，

又，故只需证，可用数学归纳法证明之