Question

在我国古运河上建有许多形状相同的抛物线型拱桥(从上游到下游标记，n＝0，1，2……)，经测量知，相邻两桥之间的距离近似地满足＝800＋150n(n＝1，2，……)这些拱桥当水面距拱顶5m时，桥洞水面宽8m，每年汛期，船公都要考虑拱桥的通行问题，一只装有货物的船，露出水面部分的高为m，宽为4m．

(1)要使该船能顺利通过拱桥，试问水面距拱顶的高度必须达到几米？

(2)已知河水每小时上涨0.15m，船在静水中的速度为0.4m/s，水流速度为15m/min，若船从桥起锚顺水航行时，河水开始上涨，试问船将在哪一座桥可能受阻？(≈153.9，≈147.8，≈159.9)

Answer 1

答案：
解析：

解(1)取抛物线型拱桥的拱顶为坐标原点，拱桥的对称轴所在直线为y轴，建立直角坐标系． 　　设当水面上涨到与抛物线拱顶相距h米时，船不能通行． 　　设抛物线方程为＝－2py(p＞0) 　　∵A(4，－5)在此抛物线上， 　　∴P＝1.6，抛物线方程为＝－3.2y 　　当船不能通行时，船宽等于，B点横坐标为2，问题转化为求抛物线＝－3.2y上点B的纵坐标，然后求h 　　将x＝2代入方程得＝ 　　∴h＝||＋＝2． 　　因此，水面距拱顶至少2米，船才能顺利通过桥． 　　(2)河水水面由距离拱离5米上升到2米需＝20小时． 　　桥到桥的距离 　　＝ 　　船顺水航行速度v＝1440＋900＝2340米/小时，在这段时间内，船航行的路线 　　d＝2340×20＝46800米． 　　由＝46800得150＋1750n＝46800×2， 　　解得n＝≈19.8， 　　故取n＝19时，此时43700＝＜d＜＝47350，　　∴船在桥受阻．