Question

【题目】若函数在其定义域内有两个不同的极值点．

（1）求实数的取值范围；

（2）试比较与的大小，并说明理由；

（3）设的两个极值点为，，证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

(1) 求函数的导数，利用在有两个不同根，转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，从而极大值，利用数形结合所以要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，只需，可得的取值范围；

(2)由(1)利用在上单调性质可得试比较与的大小；

(3)证明等价于证明，

令，则，等价于的最小值大于0即可.

解：（1）由已知得函数定义域为，

则在有两个不同的根，

又，

即方程在上有两个不同的根，

转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，

又，

即，，时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

从而，

又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，，

所以要想函数与函数的图像在上有两个不同的交点，

只需，

即；

（2）由（1）在上单调递增，在上单调递减，

所以，即，

即，

即，

所以；

（3）设的两个极值点为，由（1）可知分别是方程的两个根，

即，

设，作差得，

，即，

要证明不等式，即等价于证明

，

令，则，

，

设，

，

则函数在上单调递增，

，

即不等式成立，

故所证不等式成立.