Question

【题目】已知定点，动点与、两点连线的斜率之积为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）已知点是轨迹上的动点，点在直线上，且满足（其中为坐标原点），求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设点，则，且，化简即可得出答案；

（2）由题意，当点在椭圆的左右顶点位置时，易求出面积；当点不在椭圆的左右顶点位置时，设直线的斜率，联立直线与椭圆的方程可求得，同理可求得，再利用换元法即可求出面积的最值．

解：（1）设点，则，且，

所以，

化简得，

故点的轨迹的方程为；

（2）因为，所以，

当点在椭圆的左右顶点位置时，；

当点不在椭圆的左右顶点位置时，直线的斜率存在且不为0，

设为，则的方程为，

解得所以，

此时的方程为，所以，

，

令，则，且，

所以，，

综上可知，面积的最小值为．